우리말로는 군,환,체 이지만, 영어로된 자료에 익숙해지기 위해서, 그룹(Group), 링(Ring), 필드(Field) 라는 용어를 사용하겠다.
그룹, 링, 필드의 간단 구분
- 그룹은 한 개의 연산자에 대해 결합법칙 성립하고, 항등원, 역원 존재
- 링은 두 개의 연산자에 대해, 덧셈은 교환법칙, 곱셈은 결합법칙, 덧셈 곱셈에 대한 배분법칙 성립
- 필드는, 링에 대한 성질 모두 만족하면서, 곱셈에 대한 교환 법칙 및 역원 존재 ==> 대표 예: 실수
그룹(Group, 군)
어떤 집합 G가 이항연산자 * 와 함께 다음의 성질들을 만족할 때, 알제브레익 스트럭처 <G, *>를 group이라고 한다.
G1. *에 대해 결합법칙 성립: (a*b)*c = a*(b*c)
G2. *에 대해 항등원 e 존재: e * x = x * e = x
G3. 역원 존재 : a * a' = a' * a = e
즉, 위와 같은 3가지 조건을 만족하는 집합을 그룹이라 한다.
예를 들면, 덧셈에 대한 정수.
정수집합은 덧셈에 대해 결합법칙이 성립하고, 덧셈에 대한 항등원 0이 존재하고, 모든 원소에 대한 역원이 존재한다. 따라서, 그룹
또 다른 예는, 모두 실수로 되어 있고, n x n 행렬 중에서 가역인 것은, 행렬곱에 대해서 '그룹'이다.
- 결합법칙 성립, 항등행렬 존재, 역행렬 존재
아벨리안 그룹(abelian group, 아벨군, 가환 그룹)
그룹중에서 교환법칙이 성립하는 그룹을 특별히 아벨리안 그룹이라 한다.
a + b = b + a
위에서 예를 들었던 정수집합이 대표적인 아벨리안 그룹이다. 그러나, 위 예중 n x n 행렬은 '집합'이긴 하나 '아벨리안 그룹'이 아니다. 곱셈에 대한 교환법칙이 성립하지 않기 때문.
링(ring)
어떤 집합 R이 두 개의 이항연산자 +, · 와 함께 다음의 성질들을 만족할 때, 알제브레익 스트럭처 <R, +, ·>를 ring이라고 한다.
R1. <R,+>는 아벨리안 그룹
R2. 연산자 · 에 대해 결합법칙 성립
R3. 배분법칙 성립: a·(b+c) = (a·b)+(a·c) , (a+b)·c = (a·c)+(b·c)
위에서 연산자 +,·가 덧셈과 곱셈을 나타내는 것이 아니고, 일반적인 이항연산자를 나태내는 것
예를 들어, 정수집합은 덧셈과 곱셈에 대해서 '링'이다.
- 덧셈에 대해서 아벨리안 그룹이고, 곱셈에 대해 결합법칙이 성립하고, 덧셈과 곱셈에 대한 배분법칙 성립 하기에.
커뮤터티브 링(commutative ring)
곱셈에 대해서 교환법칙이 성립하는 링
ring with unity
· 에 대한 항등원 e가 존재하는 링: ae = ea = a
곱셈에 대한 항등원(unity)은 1R 이라하고, 덧셈에 대한 항등원은 0R로 표시.
예를 들어, 정수집합은 commutative ring with unity이다.
디비전 링(division ring)
ring with unity 이고, 0이 아닌 모든 원소에 대해 곱셈에 대한 역원이 존재하는 링
필드(field)
교환법칙이 성립하는 디비전 링
'필드'에 대한 정의를 "그룹 > 링 > 특수한 링" 순으로 했는데, 그냥 '필드'에 대한 정의를 하면 다음과 같다.
필드(field)
F1) +, · 둘 다 교환법칙 성립
F2) +, · 둘 다 결합법칙 성립
F3) +, · 둘 다 항등원 존재
F5) 좌우 분배법칙 (of · over +)
필드에 대한 대표적인 예는 '실수'이다.
Reference
1. http://sciphy.tistory.com/566
2. HEIDE: An IDE for the Homomorphic Encryption Library HElib http://digitalcommons.calpoly.edu/theses/1403/
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